ID: 00013758
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases}ax^{2}+ay^{2}+2ax+(a+2)y+1=0\\ xy+1=x+y\end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.
Источник: ФИПИ
Второе уравнение $xy+1=x+y$ переносим и раскладываем: $xy-x-y+1=0$, то есть $(x-1)(y-1)=0$. Значит оно задаёт пару прямых: $x=1$ или $y=1$. Цель — ровно четыре решения.
Подставляем каждую прямую в первое уравнение. При $x=1$ получаем квадратное относительно $y$, при $y=1$ — квадратное относительно $x$:
$$x=1:\ ay^2+(a+2)y+(3a+1)=0;\qquad y=1:\ ax^2+2ax+(2a+3)=0.$$
Четыре различных решения получаются, когда КАЖДОЕ из двух квадратных уравнений даёт по два различных корня, и точки не совпадают.
Записываем условия: оба дискриминанта положительны, $a\ne0$ (иначе уравнение не квадратное), и проверяем отсутствие совпадений (особая точка $a=-\dfrac35$).
Сводя неравенства, получаем ответ $\left(-\dfrac{2\sqrt{11}}{11};-\dfrac35\right)\cup\left(-\dfrac35;0\right)$.
$\left(-\dfrac{2\sqrt{11}}{11};\,-\dfrac35\right)\cup\left(-\dfrac35;\,0\right)$