ID: 00013767
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \begin{cases}ax^{2}+ay^{2}-(2a-5)x+2ay+1=0\\ x^{2}+y=xy+x\end{cases} имеет ровно четыре различных решения.
Источник: ФИПИ
Второе уравнение x^2+y=xy+x переносим и раскладываем: x^2-x-y(x-1)=0, то есть (x-1)(x-y)=0. Значит это пара линий: x=1 или y=x. Цель — ровно четыре решения.
Подставляем в первое уравнение. При x=1 — квадратное по y; при y=x — квадратное по x:
x=1:\ ay^2+2ay+(6-a)=0;\qquad y=x:\ 2ax^2+5x+1=0.
Четыре различных решения — когда оба уравнения дают по два корня и точки различны. Условия на дискриминанты приводят к лучам и интервалу до \dfrac{25}{8}.
Ответ: (-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup\left(3;\dfrac{25}{8}\right).
(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup\left(3;\,\dfrac{25}{8}\right)