Задание 18 ЕГЭ по математике №00013757

Второе уравнение $x^2+y=xy+x$ переносим и раскладываем: $x^2-x-y(x-1)=0$, то есть $(x-1)(x-y)=0$. Значит это пара линий: $x=1$ или $y=x$. Цель — ровно четыре решения.

Подставляем в первое уравнение. При $x=1$ — квадратное по $y$; при $y=x$ — квадратное по $x$:

$$x=1:\ ay^2+2ay+(6-a)=0;\qquad y=x:\ 2ax^2+5x+1=0.$$

Четыре различных решения — когда оба уравнения дают по два корня и точки различны. Условия на дискриминанты приводят к лучам и интервалу до $\dfrac{25}{8}$.