Уравнения с… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00013733

Слева и справа — показательные выражения с основанием $5$. Сделаем замену $t=5^x$; важно помнить, что $t\gt 0$ при любом $x$, и каждому $t\gt 0$ отвечает ровно один $x$. Цель — ровно один корень.

Перенесём всё в одну часть и сгруппируем — получится квадратное уравнение относительно $t$, которое раскладывается на множители:

$$t^2-\big((a+6)+(3|a|+5)\big)t+(a+6)(3|a|+5)=0\ \Rightarrow\ (t-(a+6))(t-(3|a|+5))=0.$$

Итак, $t=a+6$ или $t=3|a|+5$. Каждое ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ значение $t$ даёт ровно один корень $x$.

Второй множитель: $3|a|+5\ge5\gt 0$ — он всегда даёт корень. Первый: $a+6\gt 0$ только при $a\gt -6$.

Ровно один корень получается в двух случаях: либо первое значение неположительно ($a+6\le0$, то есть $a\le-6$ — тогда работает только второй множитель), либо два значения $t$ совпадают (тогда корень тоже один).

Совпадение $a+6=3|a|+5$: при $a\ge0$ это $a+6=3a+5$, откуда $a=\dfrac12$; при $a\lt 0$ это $a+6=-3a+5$, откуда $a=-\dfrac14$.

Собираем: $(-\infty;-6]\cup\left\{-\dfrac14\right\}\cup\left\{\dfrac12\right\}$.