Решите неравенство log по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно log по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 6 правая круглая скобка + log по основанию 3 левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка

Задание 15 ЕГЭ по математике: Решите неравенство log по основанию 3 левая круглая скобка левая…

№2. Задание 15

ID: 00013714

Решите неравенство

$\log_{3}\left( \left(2-x \right) \left( x^{2}+ 5\right)\right)$ $\geq$ $\log_{3}\left( x^{2} -5x +6\right)$ + $\log_{3}\left( 4-x\right)$

Решение

Справа — сумма двух логарифмов с основанием $3$ . Свернём её в один и сравним аргументы. Сначала, как всегда, область определения.

Под логарифмами всё положительно: $(2-x)(x^{2}+5)\gt 0$ даёт $x\lt 2$ (множитель $x^{2}+5\gt 0$ всегда); $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\gt 0$ даёт $x\lt 2$ или $x\gt 3$ ; $4-x\gt 0$ даёт $x\lt 4$ . Пересечение: $x\lt 2$ .

Сворачиваем правую часть: $\log_3\big((x^{2}-5x+6)(4-x)\big)$ и переходим к аргументам:

$(2-x)(x^{2}+5)\geqslant (x-2)(x-3)(4-x).$

Замечаем: $(x-2)(x-3)(4-x)=(2-x)(3-x)(4-x)$ (поменяли знак в двух скобках, а два минуса дают плюс). При $x\lt 2$ множитель $2-x\gt 0$ , делим на него обе части:

$x^{2}+5\geqslant (3-x)(4-x),\qquad x^{2}+5\geqslant x^{2}-7x+12.$

Слагаемые $x^{2}$ сокращаются, остаётся $7x\geqslant 7$ , то есть $x\geqslant 1$ . Вместе с ОДЗ $x\lt 2$ это даёт $[1;2)$ .

Ответ

[1 ; 2)