Задание 20 ЕГЭ по математике №00013708

Что дано: семь цифр $0,1,2,3,5,7,9$. Три из них идут на трёхзначное $A$, оставшиеся четыре — на четырёхзначное $B$, и оба числа кратны $45$. Вспомним правило: число кратно $45$ ровно тогда, когда оно делится и на $5$, и на $9$. Делимость на $5$ — последняя цифра $0$ или $5$. Делимость на $9$ — сумма цифр кратна $9$.

Полезное наблюдение: сумма всех семи цифр $0+1+2+3+5+7+9=27$ кратна $9$. Поэтому если сумма цифр числа $A$ кратна $9$, то и сумма оставшихся (для $B$) равна $27-(\text{сумма цифр }A)$ — тоже кратна $9$. Делимость на $9$ у $A$ и $B$ согласуется сама собой.

Пункт а). Может ли $A+B=2205$? Да. Пусть $A=270$ (цифры $2,7,0$: оканчивается на $0$, сумма цифр $9$ — делится на $45$). Тогда для $B$ остаются $1,3,5,9$, и $B=1935$ кратно $45$ (оканчивается на $5$, сумма цифр $18$). Сумма $270+1935=2205$. Значит — да.

Пункт б). Может ли $A+B=3435$? Оба числа кратны $45$, поэтому их сумма тоже кратна $45$. Проверим $3435$: $3435=45\cdot 76+15$, остаток $15\ne 0$ — на $45$ не делится. Значит такая сумма невозможна.

Пункт в). Найдём наибольшую сумму $A+B$. Главный вклад даёт четырёхзначное $B$, поэтому его старшую цифру берём наибольшей — это $9$. Кратность $45$ требует последнюю цифру $0$ или $5$. Возьмём $B=9315$ (цифры $9,3,1,5$, оканчивается на $5$, сумма цифр $18$ — кратно $45$). Тогда для $A$ остаются $0,2,7$, и $A=720$ (оканчивается на $0$, сумма $9$ — кратно $45$). Сумма $9315+720=10035$.

Больше не получится: если у $B$ старшие цифры $9$ и $7$, то последняя обязана быть $0$ или $5$, и перебор оставшихся вариантов даёт сумму не выше $10035$. Наибольшая возможная сумма — 10035.