ID: 00013691
Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили S - сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа A = 123 и B = 579 получается сумма S=15+27+39=46
a) Существуют ли трёхзначные числа А и В, для которых S=100?
б) Существуют ли пятизначные числа А и В, для которых S=400?
В) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел A и В?
Источник: ФИПИ
Что такое $S$: у двух чисел одинаковой длины перемножают соответствующие цифры и складывают. Например, для $A=123$, $B=579$ выходит $S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46$. Заметим главное: каждое слагаемое — произведение двух цифр, то есть число от $0$ до $81$ (наибольшее $9\cdot 9$).
Пункт а). Бывают ли трёхзначные $A,B$ с $S=100$? Возьмём $A=991$, $B=921$: $S=9\cdot 9+9\cdot 2+1\cdot 1=81+18+1=100$. Значит — да.
Пункт б). Бывают ли пятизначные $A,B$ с $S=400$? Каждое из пяти слагаемых не больше $81$, поэтому $S\leqslant 5\cdot 81=405$. Важно: следующее по величине произведение двух цифр после $81$ — это $72$ ($8\cdot 9$), между ними значений нет. Если $k$ слагаемых равны $81$, то $S\leqslant 81k+72(5-k)=360+9k$. Для $S=400$ нужно $360+9k\geqslant 400$, то есть $k\geqslant 5$, значит все пять равны $81$ и $S=405\ne 400$. Получить ровно $400$ нельзя — нет.
Пункт в). Верно ли, что любое число от $1$ до $260$ — это $S$ для каких-то четырёхзначных $A,B$? Да. Одно произведение вида $1\cdot k$ принимает любое значение от $0$ до $9$ подряд. У нас четыре слагаемых, каждое — от $0$ до $81$, и значения идут без пропусков. Поэтому четырьмя слагаемыми можно набрать любое целое от $0$ до $4\cdot 81=324$, в том числе любое от $1$ до $260$. Значит — да.
а) да; б) нет; в) да