ID: 00013691
Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычислили S - сумму произведений соответствующих цифр. Например. для числа A = 123 и B = 579 получается сумма S=15+27+39=46
a) Существуют ли трёхзначные числа А и В, для которых S=100?
б) Существуют ли пятизначные числа А и В, для которых S=400?
В) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 260 является суммой для некоторых четырёхзначных чисел A и В?
Источник: ФИПИ
Что такое S: у двух чисел одинаковой длины перемножают соответствующие цифры и складывают. Например, для A=123, B=579 выходит S=1\cdot 5+2\cdot 7+3\cdot 9=46. Заметим главное: каждое слагаемое — произведение двух цифр, то есть число от 0 до 81 (наибольшее 9\cdot 9).
Пункт а). Бывают ли трёхзначные A,B с S=100? Возьмём A=991, B=921: S=9\cdot 9+9\cdot 2+1\cdot 1=81+18+1=100. Значит — да.
Пункт б). Бывают ли пятизначные A,B с S=400? Каждое из пяти слагаемых не больше 81, поэтому S\leqslant 5\cdot 81=405. Важно: следующее по величине произведение двух цифр после 81 — это 72 (8\cdot 9), между ними значений нет. Если k слагаемых равны 81, то S\leqslant 81k+72(5-k)=360+9k. Для S=400 нужно 360+9k\geqslant 400, то есть k\geqslant 5, значит все пять равны 81 и S=405\ne 400. Получить ровно 400 нельзя — нет.
Пункт в). Верно ли, что любое число от 1 до 260 — это S для каких-то четырёхзначных A,B? Да. Одно произведение вида 1\cdot k принимает любое значение от 0 до 9 подряд. У нас четыре слагаемых, каждое — от 0 до 81, и значения идут без пропусков. Поэтому четырьмя слагаемыми можно набрать любое целое от 0 до 4\cdot 81=324, в том числе любое от 1 до 260. Значит — да.
а) да; б) нет; в) да