Логарифмичес… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00013643

Под логарифмом всюду выражение $25-x^{2}$, и логарифм в квадрате. Заменим $\log_3(25-x^{2})$ буквой и получим квадратное неравенство.

Область определения: $25-x^{2}\gt 0$, то есть $-5\lt x\lt 5$ (важно: концы $\pm 5$ не входят — там под логарифмом был бы ноль).

Пусть $u=\log_3(25-x^{2})$. Тогда:

$$u^{2}-3u+2\geqslant 0,\qquad (u-1)(u-2)\geqslant 0,$$

откуда $u\leqslant 1$ или $u\geqslant 2$.

Случай $u\leqslant 1$: $0\lt 25-x^{2}\leqslant 3$, то есть $22\leqslant x^{2}\lt 25$. С учётом ОДЗ это $-5\lt x\leqslant -\sqrt{22}$ или $\sqrt{22}\leqslant x\lt 5$.

Случай $u\geqslant 2$: $25-x^{2}\geqslant 9$, то есть $x^{2}\leqslant 16$, что даёт $-4\leqslant x\leqslant 4$.

Объединяя, получаем три промежутка; концы $\pm 5$ остаются выколотыми.