ID: 00013642
Решите неравенство
$\log^{2}_{3}\left( x^{2}-16\right)$ -5 $\log_{3}\left(x^{2}- 16 \right)$ +6 $\geq$ 0
Источник: ФИПИ
Под логарифмом везде $x^{2}-16$, логарифм в квадрате — заменим его буквой и решим квадратное неравенство.
Область определения: $x^{2}-16\gt 0$, то есть $x\lt -4$ или $x\gt 4$.
Пусть $u=\log_3(x^{2}-16)$:
$$u^{2}-5u+6\geqslant 0,\qquad (u-2)(u-3)\geqslant 0,$$
откуда $u\leqslant 2$ или $u\geqslant 3$.
Случай $u\leqslant 2$: $0\lt x^{2}-16\leqslant 9$, то есть $16\lt x^{2}\leqslant 25$. С учётом ОДЗ это $-5\leqslant x\lt -4$ или $4\lt x\leqslant 5$.
Случай $u\geqslant 3$: $x^{2}-16\geqslant 27$, то есть $x^{2}\geqslant 43$. Это $x\leqslant -\sqrt{43}$ или $x\geqslant\sqrt{43}$ (в точках $\pm\sqrt{43}$ выполнено равенство $u=3$, поэтому они входят).
Объединяя оба случая, получаем четыре промежутка.
$\left( -\infty ; -\sqrt{43}\right]$ $\bigcup$ $\left[ -5 ; -4 \right)$ $\bigcup$ $\left( 4 ; 5\right]$ $\bigcup$ $\left[\sqrt{43} ; +\infty\right)$