ID: 00013440
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата
таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 80: $1 000,\ 920,\ \dots$ — всего 10 ступеней, после чего 11-м платежом гасится остаток $200$ тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 80 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $200$, выросшему на $r\,\%$. Сумма всех платежей равна 1 198 тыс. руб.:
$$\underbrace{80\cdot10}_{\text{ступени}=800}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=1 198.$$
Решив уравнение, находим недостающую величину, после чего долг 15-го числа 10-го месяца равен $1 000-10\cdot80=200$ тыс. руб., то есть 200 000 рублей.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.
200000