ID: 00013436
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку 𝑟, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.
Источник: ФИПИ
Долг уменьшается равными ступенями до нуля за все годы, значит последний (самый маленький) платёж определяется только последней ступенькой долга.
Кредит $S=7$ млн руб. на 10 лет: долг на июль убывает на $d=\dfrac{7}{10}=0{,}7$ млн руб. в год, и предпоследний долг равен как раз $d=0{,}7$ млн руб.
Последний платёж — это предпоследний долг, выросший на $r\,\%$ (то есть умноженный на $q=1+\tfrac{r}{100}$), потому что после него долг становится нулевым:
$$\text{последний платёж}=d\cdot q=0{,}7\left(1+\tfrac{r}{100}\right).$$
По условию он не меньше 0,819 млн руб. Решаем неравенство $0{,}7\left(1+\tfrac{r}{100}\right)\ge 0{,}819$ и находим $1+\tfrac{r}{100}\ge 1{,}17$, то есть $r\ge 17$.
Наименьшее подходящее значение ставки равно 17. Типичная ошибка — взять не последний, а первый платёж: первый платёж самый большой, а здесь ограничение наложено именно на самый маленький, последний.
17