ID: 00013428
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите 𝑟.
Источник: ФИПИ
Один и тот же кредит можно погасить разными равными платежами за разное число лет. Сумма кредита от плана не зависит — на этом и строится уравнение для ставки.
Если платить по 58 564 руб. 4 года, сумма кредита равна $S=58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)q^{4}}$, где $q=1+\tfrac{r}{100}$. Если платить по 106 964 руб. 2 года — $S=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{(q-1)q^{2}}$.
Приравниваем два выражения для одной и той же суммы $S$ и упрощаем (общий множитель $q-1$ сокращается):
$$58 564\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q^{4}}=106 964\cdot\dfrac{q^{2}-1}{q^{2}}.$$
После упрощения это сводится к квадратному уравнению относительно $q^2$; его решение даёт $q=1{,}1$, то есть $r=10$.
Типичная ошибка — приравнять суммы платежей (58 564·4 и 106 964·2) напрямую; равны не суммы выплат, а исходные суммы кредита.
10