ID: 00013423
а) Решите уравнение 27\cdot 81^{\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена u=9^{\sin x}>0 (81^{\sin x}=u^2):
27u^2-12u+1=0,\quad u_1=\tfrac13,\ u_2=\tfrac19
Обратно: 9^{\sin x}=\tfrac13\Rightarrow \sin x=-\tfrac12; 9^{\sin x}=\tfrac19\Rightarrow \sin x=-1.
Выпишем все серии корней:
\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]. Отметим на числовой окружности концы отрезка \left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right], выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
\frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}
а) x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}
б) \frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}