ID: 00013423
а) Решите уравнение $27\cdot 81^{\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Замена $u=9^{\sin x}>0$ ($81^{\sin x}=u^2$):
$$27u^2-12u+1=0,\quad u_1=\tfrac13,\ u_2=\tfrac19$$
Обратно: $9^{\sin x}=\tfrac13\Rightarrow \sin x=-\tfrac12$; $9^{\sin x}=\tfrac19\Rightarrow \sin x=-1$.
Выпишем все серии корней:
$$\sin x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin x=-\tfrac12\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[\frac{3 \pi}{2};\,3 \pi\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$$
а) $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{3 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}$