ID: 00013421
а) Решите уравнение $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sin^2 x=\sin x+2$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем $\sqrt2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$ и сократим $\sin x$:
$$\cos x+2\sin^2 x-2=0$$
Заменим $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ и вынесем $\cos x$:
$$\cos x\,(1-2\cos x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$$
а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$