Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00013421

Пункт а. Раскроем $\sqrt2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin x+\cos x$ и сократим $\sin x$:

$$\cos x+2\sin^2 x-2=0$$

Заменим $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ и вынесем $\cos x$:

$$\cos x\,(1-2\cos x)=0$$

Выпишем все серии корней:

$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

$$\cos x=\tfrac12\;\Rightarrow\;x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[2 \pi;\,\frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}$$