ID: 00013413
а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin 2x=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$
Источник: ФИПИ
Пункт а. Приведение $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ и $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
$$2\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$
Вынесем $2\cos x$:
$$2\cos x\,(\cos x+\sin x)=0$$
Выпишем все серии корней:
$$\cos x=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\operatorname{tg} x=-1\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[3 \pi;\,\frac{9 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$\frac{7 \pi}{2}, \frac{15 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{2}$$
а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;\ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$
б) $\frac{7 \pi}{2}, \frac{15 \pi}{4}, \frac{9 \pi}{2}$