Числа и их… — Задание 20 ЕГЭ по математике №00013208

Задание №20. Задачи на теорию чисел

Числа и их свойства

№2. Задание 20

ID: 00013208

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/8 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 7/17 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
б) Какое наибольшее число мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Источник: ФИПИ

Решение

Что дано: каждый ученик сходил в театр и/или в кино. В театре мальчиков не больше $\dfrac38$ от числа театралов $$T$$ , в кино мальчиков не больше $\dfrac7{17}$ от числа киношников $$K$$ . Отсюда мальчиков всего не больше $\dfrac38T+\dfrac7{17}K$ (каждого мальчика считаем там, где он даёт ограничение).

Чтобы дроби давали круглые ограничения, удобно брать $$T$$ кратным $$8$$ и $$K$$ кратным $$17$$ .

Пункт а). Могло ли быть $$13$$ мальчиков при $$24$$ учениках? Возьмём театр $$T=16$$ (мальчиков не больше $\dfrac38\cdot 16=6$ ) и кино $$K=18$$ (мальчиков не больше $\dfrac7{17}\cdot 18\lt 8$ , то есть $\leqslant 7$ ). Берём $$6$$ мальчиков в театре и $$7$$ в кино — это $$13$$ мальчиков, остальные $$11$$ человек девочки. Значит — да.

Пункт б). Какое наибольшее число мальчиков при $$24$$ учениках? Мальчиков не больше $\dfrac38T+\dfrac7{17}K$ . Перебирая допустимые $$T$$ и $$K$$ (помня, что некоторые ходили и туда, и туда, поэтому $T+K\geqslant 24$ ), получаем максимум $$13$$ — например, при $$T=16$$ , $$K=17$$ и десяти учениках, побывавших в обоих местах. Наибольшее число мальчиков — 13.

Пункт в). Теперь без условия про $$24$$ ученика; ищем наименьшую долю девочек, то есть наибольшую долю мальчиков. Возьмём $$10$$ учеников, побывавших и в театре, и в кино, ещё $$6$$ только в театре и $$7$$ только в кино — всего $$23$$ ученика. Тогда $$T=16$$ , $$K=17$$ .

Сделаем мальчиками $$6$$ «только театр» (это ровно $\dfrac38\cdot 16$ ) и $$7$$ «только кино» (ровно $\dfrac7{17}\cdot 17$ ) — итого $$13$$ мальчиков; остальные $$10$$ (все «двойные») — девочки. Условия выполнены, доля девочек $\dfrac{10}{23}$ . Меньше нельзя: оценка $\dfrac38T+\dfrac7{17}K$ не даёт доле мальчиков превысить $\dfrac{13}{23}$ . Наименьшая доля девочек — $\dfrac{10}{23}$ .

Ответ

а) да; б) 13; в) 10/23

Видеоразбор

Другие задания по теме «Числа и их свойства» (8)