Задание 15 ЕГЭ по математике №00013162

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00013162

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении SN : ND = 1:3.

а) Докажите, что точка M – середина ребра SC.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём точку $$O$$ — центр основания. Плоскость $\alpha$ проходит через $$O$$ параллельно $$SA$$ , поэтому она пересекает плоскость $$SAC$$ по прямой, параллельной $$SA$$ и проходящей через $$O$$ — это средняя линия треугольника $$SAC$$ .

Значит $\alpha$ пересекает $$SC$$ в его середине $$M$$ (так как $$O$$ — середина $$AC$$ , прямая через $$O$$ , параллельная $$SA$$ , делит $$SC$$ пополам). Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты: $$O=(0;0;0)$$ , основание — квадрат со стороной $$a=4$$ , $$S=(0;0;2.828)$$ (высоту $$H$$ $=2\sqrt2$ (все рёбра равны 4)).

Точка $$N$$ на $$SD$$ с $$SN:ND=1:3$$ и середина $$M$$ ребра $$SC$$ задают плоскость $\alpha\parallel SA$ .

Длина отрезка, по которому $\alpha$ пересекает грань $$SBC$$ , равна $\sqrt3$ (находим как хорду сечения в этой грани).

Ответ

$\sqrt{3}$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)