ID: 00013162
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O – центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении SN : ND = 1:3.
а) Докажите, что точка M – середина ребра SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём точку O — центр основания. Плоскость \alpha проходит через O параллельно SA, поэтому она пересекает плоскость SAC по прямой, параллельной SA и проходящей через O — это средняя линия треугольника SAC.
Значит \alpha пересекает SC в его середине M (так как O — середина AC, прямая через O, параллельная SA, делит SC пополам). Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: O=(0;0;0), основание — квадрат со стороной a=4, S=(0;0;2.828) (высоту H =2\sqrt2 (все рёбра равны 4)).
Точка N на SD с SN:ND=1:3 и середина M ребра SC задают плоскость \alpha\parallel SA.
Длина отрезка, по которому \alpha пересекает грань SBC, равна \sqrt3 (находим как хорду сечения в этой грани).
Ответ: \sqrt3.
\sqrt{3}