ID: 00013114
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
\big(|x-a-2|+|x-a+2|\big)^{2}-a\big(|x-a-2|+|x-a+2|\big)+a^{2}-64=0
имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Обозначим E=|x-(a+2)|+|x-(a-2)| — сумма расстояний от x до точек a+2 и a-2. Расстояние между ними равно 4, поэтому E\ge4 всегда. Цель — ровно два корня.
E^2-aE+(a^2-64)=0\ \Rightarrow\ E=\dfrac{a\pm\sqrt{256-3a^2}}{2}\quad(\text{веществ. при }|a|\le\tfrac{16}{\sqrt3}).
Сколько x даёт значение E=c: при c\gt 4 — два, при c=4 — одно, при c\lt 4 — ни одного.
Складываем вклады и требуем ровно два решения. Получаем интервал (2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13}).
Плюс особая точка a=\dfrac{16\sqrt3}{3} (там под корнем нуль, два значения E сливаются в одно \gt 4, дающее два корня).
Ответ: (2-2\sqrt{13};2+2\sqrt{13})\cup\left\{\dfrac{16\sqrt3}{3}\right\}.
(2-2\sqrt{13};\,2+2\sqrt{13})\cup\left\{\dfrac{16\sqrt3}{3}\right\}