ID: 00013082
Дана правильная пирамида SABC, точки K и M - середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на рёбрах BC и SA соответственно расположены таким образом, что AL = 4LS и прямые NL и MK пересекаются.
а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение CN : NB.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты правильной пирамиды $SABC$. Точки $K,M$ — середины $AB,SC$; $L$ на $SA$ с $AL:LS=4:1$; $N$ на $BC$.
Прямые $MK$ и $NL$ лежат в одной плоскости (условие их пересечения), а прямые $LK$, $MN$, $BS$ проходят через одну точку — это проверяется как пересечение трёх плоскостей/прямых в построенных координатах. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Параметризуем $N=B+s\,(C-B)$ и из условия пересечения $NL$ и $MK$ находим $s$.
Получаем $CN:NB=1:4$.