ID: 00013082
Дана правильная пирамида SABC, точки K и M - середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на рёбрах BC и SA соответственно расположены таким образом, что AL = 4LS и прямые NL и MK пересекаются.
а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение CN : NB.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты правильной пирамиды SABC. Точки K,M — середины AB,SC; L на SA с AL:LS=4:1; N на BC.
Прямые MK и NL лежат в одной плоскости (условие их пересечения), а прямые LK, MN, BS проходят через одну точку — это проверяется как пересечение трёх плоскостей/прямых в построенных координатах. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Параметризуем N=B+s\,(C-B) и из условия пересечения NL и MK находим s.
Получаем CN:NB=1:4.
Ответ: 1:4.