ID: 00013079
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N - середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1, KC = 3.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
В равностороннем треугольнике ABD медиана DM к стороне AB является и высотой, поэтому MN... точнее: AN=BN как медианы граней, значит треугольник ANB равнобедренный, и его медиана NM перпендикулярна AB: MN\perp AB.
Аналогично из равнобедренного треугольника CMD (CM=DM) медиана MN перпендикулярна CD: MN\perp CD. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Плоскость \alpha\perp MN параллельна прямым AB и CD (обе перпендикулярны MN). Её сечение тетраэдра — прямоугольник KLPQ, где KL\parallel AB, KQ\parallel CD.
Из подобия: треугольники KCL и KBQ равносторонние, поэтому KL=KC=3, KQ=KB=1 (ребро a=4).
Площадь сечения S=KL\cdot KQ=3\cdot1=3.
Ответ: 3.