Задание 15 ЕГЭ по математике №00013079

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00013079

В правильном тетраэдре ABCD точки M и N - середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.

а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1, KC = 3.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

В равностороннем треугольнике $$ABD$$ медиана $$DM$$ к стороне $$AB$$ является и высотой, поэтому $$MN$$ ... точнее: $$AN=BN$$ как медианы граней, значит треугольник $$ANB$$ равнобедренный, и его медиана $$NM$$ перпендикулярна $$AB$$ : $MN\perp AB$ .

Аналогично из равнобедренного треугольника $$CMD$$ ( $$CM=DM$$ ) медиана $$MN$$ перпендикулярна $$CD$$ : $MN\perp CD$ . Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Плоскость $\alpha\perp MN$ параллельна прямым $$AB$$ и $$CD$$ (обе перпендикулярны $$MN$$ ). Её сечение тетраэдра — прямоугольник $$KLPQ$$ , где $KL\parallel AB$ , $KQ\parallel CD$ .

Из подобия: треугольники $$KCL$$ и $$KBQ$$ равносторонние, поэтому $$KL=KC=3$$ , $$KQ=KB=1$$ (ребро $$a=4$$ ).

Площадь сечения $S=KL\cdot KQ=3\cdot1=3$ .

Ответ

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)