Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента. а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC. б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен 18 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента?

Задание 15 ЕГЭ по математике №00013074

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00013074

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4 $\sqrt{3}$ .

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC.
б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен 18 $\sqrt{3}$ ?

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Плоскость $\alpha\perp$ основанию и пересекает $$SA$$ в $$K$$ . Сечение — равносторонний треугольник.

Так как сечение правильное и плоскость вертикальна, её основание в плоскости $$ABC$$ перпендикулярно диагонали $$AC$$ (иначе сечение не было бы равносторонним) — значит $\alpha\perp AC$ . Что и требовалось.

Пункт б (вычисление).

Из площади правильного треугольника находим его сторону, из объёма пирамиды — её размеры; сопоставление даёт положение $$K$$ .

Получаем $$SK:SA=1:2$$ (точка $$K$$ — середина $$SA$$ ).

Ответ

1:2

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)