ID: 00013074
Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью α является правильным треугольником площадью 4$\sqrt{3}$ .
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна прямой AC.
б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен 18$\sqrt{3}$?
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Плоскость $\alpha\perp$ основанию и пересекает $SA$ в $K$. Сечение — равносторонний треугольник.
Так как сечение правильное и плоскость вертикальна, её основание в плоскости $ABC$ перпендикулярно диагонали $AC$ (иначе сечение не было бы равносторонним) — значит $\alpha\perp AC$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Из площади правильного треугольника находим его сторону, из объёма пирамиды — её размеры; сопоставление даёт положение $K$.
Получаем $SK:SA=1:2$ (точка $K$ — середина $SA$).