Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00013059

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита (в рублях), при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

Источник: ФИПИ

Решение

Льготный кредит на пять лет: в первые три года заёмщик платит только проценты (долг не меняется), а в последние два года вносит равные суммы, полностью гася долг. Нужно наибольшее целое число миллионов, при котором суммарные выплаты не достигают границы.

Пусть взято $$S$$ млн руб. В середине года долг растёт на 20 %. За первые три года платятся только проценты — по $0{,}2\cdot S$ млн, итого $0{,}6\,S$ млн.

В 4-й и 5-й годы вносят равные платежи $$P$$ ; после второго долг обнуляется, откуда $P=\dfrac{S(1+0{,}2)^2}{2+0{,}2}$ . Складывая, получаем общую сумму выплат $1{,}909091\,S$ млн руб.

Условие «выплаты меньше 7 млн руб.» даёт $1{,}909091\,S\lt 7$ , то есть $S\lt 3{,}667$ .

Наибольшее целое число миллионов, удовлетворяющее этому, равно $$S=3$$ .

Значит, наибольший размер кредита — 3 млн рублей. Типичная ошибка — учесть проценты первых лет как погашение долга; на самом деле тело долга эти годы не уменьшается.

Ответ

3000000

Видеоразбор

Другие задания по теме «Кредиты» (8)