ID: 00013059
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.
Источник: ФИПИ
Льготный кредит на пять лет: в первые три года заёмщик платит только проценты (долг не меняется), а в последние два года вносит равные суммы, полностью гася долг. Нужно наибольшее целое число миллионов, при котором суммарные выплаты не достигают границы.
Пусть взято S млн руб. В середине года долг растёт на 20 %. За первые три года платятся только проценты — по 0{,}2\cdot S млн, итого 0{,}6\,S млн.
В 4-й и 5-й годы вносят равные платежи P; после второго долг обнуляется, откуда P=\dfrac{S(1+0{,}2)^2}{2+0{,}2}. Складывая, получаем общую сумму выплат 1{,}909091\,S млн руб.
Условие «выплаты меньше 7 млн руб.» даёт 1{,}909091\,S\lt 7, то есть S\lt 3{,}667.
Наибольшее целое число миллионов, удовлетворяющее этому, равно S=3.
Значит, наибольший размер кредита — 3 млн рублей. Типичная ошибка — учесть проценты первых лет как погашение долга; на самом деле тело долга эти годы не уменьшается.