ID: 00013047
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на (𝑛+ 1) месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 𝑛-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 𝑛-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу (𝑛+ 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите 𝑛, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита
составит 852 тысячи рублей.
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 20: $600,\ 580,\ \dots$ — всего 20 ступеней, после чего 21-м платежом гасится остаток $200$ тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 20 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $200$, выросшему на $r\,\%$. Сумма всех платежей равна 852 тыс. руб.:
$$\underbrace{20\cdot20}_{\text{ступени}=400}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=852.$$
Решая относительно числа месяцев, получаем $n=20$.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.