ID: 00013042
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите 𝑟, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита
составит 1021 тысячу рублей.
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 70: $900,\ 830,\ \dots$ — всего 10 ступеней, после чего 11-м платежом гасится остаток $200$ тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 70 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $200$, выросшему на $r\,\%$. Сумма всех платежей равна 1 021 тыс. руб.:
$$\underbrace{70\cdot10}_{\text{ступени}=700}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=1 021.$$
Отсюда $x=0{,}02$, то есть $r=2$. Искомая ставка равна 2 %.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.