Задание 13 ЕГЭ по математике №00011561

Задание №13. Экономические задачи

Задачи на оптимальный выбор

№2. Задание 13

ID: 00011561

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $$t^2$$ тыс. рублей в конце года t (t = 1, 2, ...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 25%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Источник: ФИПИ

Решение

Стоимость бумаг растёт как $$t^2$$ , а деньги на счёте — в геометрической прогрессии. Нужно выбрать год продажи так, чтобы итог к заданному году был наибольшим.

Если продать в конце года $$t$$ , то к концу 20-го года на счёте будет $t^2\cdot 1{,}25^{\,20-t}$ . Сравним соседние варианты — продать в конце года $$t$$ или $$t+1$$ .

Отношение «продать на год позже» к «продать сейчас» равно:

$\dfrac{(t+1)^2}{t^2}\cdot\dfrac{1}{1{,}25}=\dfrac{(t+1)^2}{t^2\cdot 1{,}25}.$

Ждать выгодно, пока это отношение больше единицы, то есть пока $\left(1+\tfrac{1}{t}\right)^2\gt 1{,}25$ . Как только рост бумаг перестаёт обгонять рост вклада, продавать больше не выгодно.

Решая неравенство, получаем, что выгодно держать до года $$t=9$$ , а затем продавать. Значит, продать следует в конце 9-го года.

Типичная ошибка — сравнивать абсолютные значения для всех 25 лет вручную; достаточно сравнить соседние годы через отношение.

Ответ

Другие задания по теме «Задачи на оптимальный выбор» (8)