Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00009129

Пункт а. Раскроем по формулам сложения: $2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)=\cos x+\sqrt3\sin x$, $2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x$:

$$\cos x+\sqrt3\sin x-\sqrt3\sin x=\sin x+\sqrt3\cos x-\sqrt3\cos x$$

После сокращения остаётся:

$$\cos x=\sin x\;\Rightarrow\;\operatorname{tg} x=1$$

Выпишем все серии корней:

$$\operatorname{tg} x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.

Получаем корни, принадлежащие отрезку:

$$- \frac{15 \pi}{4}$$