ID: 00009129
а) Решите уравнение $2\cos(x - \dfrac{\pi}{3}) - \sqrt{3}\sin x = 2\sin(x + \dfrac{\pi}{3}) - \sqrt{3}\cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$-\dfrac{9\pi}{2}, -\dfrac{7\pi}{2}$].
Источник: ФИПИ
Пункт а. Раскроем по формулам сложения: $2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{3}\right)=\cos x+\sqrt3\sin x$, $2\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt3\cos x$:
$$\cos x+\sqrt3\sin x-\sqrt3\sin x=\sin x+\sqrt3\cos x-\sqrt3\cos x$$
После сокращения остаётся:
$$\cos x=\sin x\;\Rightarrow\;\operatorname{tg} x=1$$
Выпишем все серии корней:
$$\operatorname{tg} x=1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
Пункт б. Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$. Отметим на числовой окружности концы отрезка $\left[- \frac{9 \pi}{2};\,- \frac{7 \pi}{2}\right]$, выделим соответствующую дугу и переберём в каждой серии целые значения параметра — оставим корни, попавшие на дугу.
Получаем корни, принадлежащие отрезку:
$$- \frac{15 \pi}{4}$$
а) $\dfrac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$
б) $-\dfrac{15\pi}{4}$