ID: 00009125
Расстояние между пристанями $A$, $B$ равно $192$ $\text{км}$. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через $3$ часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот проплыл $92$ $\text{км}$. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $4$ $\text{км}/\text{ч}$. Ответ дайте в $\text{км}/\text{ч}$.
Источник: ФИПИ
Плот плывёт со скоростью течения — $4$ км/ч. Он проплыл $92$ км, значит, с момента его старта прошло $\dfrac{92}{4}=23$ часа.
Яхта вышла на $3$ часа позже, поэтому на весь путь туда и обратно у неё ушло $23-3=20$ часов.
Пусть $x$ км/ч — скорость яхты в неподвижной воде: по течению $x+4$, против — $x-4$:
$$\dfrac{192}{x+4}+\dfrac{192}{x-4}=20.$$
Умножим обе части на $(x+4)(x-4)=x^{2}-16$ и сократим на $4$:
$$48(x-4)+48(x+4)=5(x^{2}-16).$$
Раскроем скобки и приведём подобные:
$$96x=5x^{2}-80\;\Rightarrow\;5x^{2}-96x-80=0.$$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$$D=96^{2}+4\cdot5\cdot80=9216+1600=10816=104^{2}.$$
$$x=\dfrac{96\pm104}{10}\;\Rightarrow\;x=20\;\text{или}\;x=-0{,}8.$$
Отрицательный корень посторонний. Проверим: $\dfrac{192}{24}+\dfrac{192}{16}=8+12=20$ часов — сходится.