Задание 13 ЕГЭ по математике №00009101

Пусть бумаги проданы в конце года $t$. Фонд получает $t^2$ тыс. рублей, и до конца 20-го года эти деньги лежат в банке ещё $20-t$ лет, каждый год умножаясь на $q=1+\dfrac{r}{100}$. Итог к концу 20-го года:

$$f(t)=t^2\cdot q^{20-t}.$$

«Строго в конце 9-го года» значит: продажа в этот год даёт больше, чем в любой другой, — в частности, больше, чем в соседние годы $8$ и $10$.

Сравню годы $9$ и $10$. У итогов общий множитель $q^{10}$, он положителен, и на него можно сократить:

$$f(9)\gt f(10)\iff 81q^{11}\gt100q^{10}\iff q\gt\dfrac{100}{81}.$$

Сравню годы $9$ и $8$, сократив на $q^{11}$:

$$f(9)\gt f(8)\iff 81q^{11}\gt64q^{12}\iff q\lt\dfrac{81}{64}.$$

Так как $q=1+\dfrac{r}{100}$, получаю $\dfrac{19}{81}\lt\dfrac{r}{100}\lt\dfrac{17}{64}$, или

$$\dfrac{1900}{81}\lt r\lt\dfrac{1700}{64}.$$

Оценю границы: $\dfrac{1900}{81}=23{,}45\ldots$, а $\dfrac{1700}{64}=26{,}5625$. Целые значения $r$ внутри промежутка: $24$, $25$, $26$. Наименьшее из них — $24$.

Почему достаточно сравнить только соседние годы. Отношение итогов соседних лет $\dfrac{f(t+1)}{f(t)}=\left(1+\dfrac1t\right)^2\cdot\dfrac1q$ с ростом $t$ уменьшается. Пока оно больше $1$, итог растёт, а как только становится меньше $1$, итог начинает падать и дальше только падает. Поэтому год, который лучше обоих соседних, лучше и всех остальных.

Проверю прямым сравнением. При $r=24$, $q=1{,}24$: $81q=100{,}44\gt100$ — девятый год лучше десятого; $64q=79{,}36\lt81$ — девятый год лучше восьмого. При $r=23$, $q=1{,}23$: $81q=99{,}63\lt100$ — десятый год уже выгоднее девятого, так что $r=23$ не подходит.