ID: 00009101
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$, $\text{тыс. рублей}$ в конце года $t$ ($t = 1, 2, \dots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце девятого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?
Источник: ФИПИ
Стоимость бумаг растёт как $t^2$, а вклад — в $(1+r)$ раз в год. Известно, что выгоднее всего продать строго в конце $m$-го года; нужно найти, при каких $r$ это так.
Итог к концу 20-го года при продаже в конце года $t$ равен $t^2(1+r)^{20-t}$. Год $m=9$ оптимален, когда он не хуже соседних — лучше года $m-1$ и лучше года $m+1$.
Сравнение с годом $m+1$ (продавать раньше выгоднее, чем на год позже) даёт:
$$m^2(1+r)\gt {(m+1)}^2\ \Rightarrow\ 1+r\gt \dfrac{(m+1)^2}{m^2}\ \Rightarrow\ r\gt \dfrac{2m+1}{m^2}=\dfrac{19}{81}.$$
Сравнение с годом $m-1$ (продавать позже выгоднее, чем на год раньше) даёт:
$$(m-1)^2(1+r)\lt m^2\ \Rightarrow\ 1+r\lt \dfrac{m^2}{(m-1)^2}\ \Rightarrow\ r\lt \dfrac{2m-1}{(m-1)^2}=\dfrac{17}{64}.$$
Объединяя оба условия, получаем $r\in\left(\dfrac{19}{81};\ \dfrac{17}{64}\right)$.
Типичная ошибка — взять нестрогие неравенства: слово «строго» означает, что соседние годы дают меньший итог, поэтому интервал открытый.
$\left( \dfrac{19}{81} ; \dfrac{17}{64} \right)$.