ID: 00009097
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на $20 \%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше $7$, $\text{млн рублей}$.
Источник: ФИПИ
Льготный кредит на пять лет: в первые три года заёмщик платит только проценты (долг не меняется), а в последние два года вносит равные суммы, полностью гася долг. Нужно наибольшее целое число миллионов, при котором суммарные выплаты не достигают границы.
Пусть взято $S$ млн руб. В середине года долг растёт на 20 %. За первые три года платятся только проценты — по $0{,}2\cdot S$ млн, итого $0{,}6\,S$ млн.
В 4-й и 5-й годы вносят равные платежи $P$; после второго долг обнуляется, откуда $P=\dfrac{S(1+0{,}2)^2}{2+0{,}2}$. Складывая, получаем общую сумму выплат $1{,}909091\,S$ млн руб.
Условие «выплаты меньше 7 млн руб.» даёт $1{,}909091\,S\lt 7$, то есть $S\lt 3{,}667$.
Наибольшее целое число миллионов, удовлетворяющее этому, равно $S=3$.
Значит, наибольший размер кредита — 3 млн рублей. Типичная ошибка — учесть проценты первых лет как погашение долга; на самом деле тело долга эти годы не уменьшается.
$3\,000\,000$, $\text{рублей}$.