Что дано: восемь критиков поставили различные целые оценки от 0 до 12. Старый рейтинг — среднее всех восьми оценок, новый — среднее шести оставшихся (выбросили самую маленькую m и самую большую M). Обозначим сумму всех восьми через \Sigma.

Запишем разность рейтингов и упростим: \dfrac{\Sigma}{8}-\dfrac{\Sigma-m-M}{6}. Приведём к знаменателю 24: \dfrac{3\Sigma-4(\Sigma-m-M)}{24}=\dfrac{4(m+M)-\Sigma}{24}. Сверху стоит целое число — это пригодится.

Пункт а). Может ли разность быть \dfrac{1}{20}? Тогда \dfrac{4(m+M)-\Sigma}{24}=\dfrac{1}{20}, откуда 4(m+M)-\Sigma=\dfrac{24}{20}=\dfrac65 — не целое. А слева целое. Противоречие — значит нет.

Пункт б). Может ли разность быть \dfrac{1}{24}? Тогда 4(m+M)-\Sigma=1. Возьмём m=0, M=12: 48-\Sigma=1, то есть \Sigma=47, и сумма шести «средних» оценок равна 47-0-12=35. Шесть различных чисел из 1,\dots,11 с суммой 35 найдутся, например 1,4,6,7,8,9. Тогда оценки 0,1,4,6,7,8,9,12 дают нужную разность. Значит — да.

Пункт в). Максимизируем разность. Перепишем числитель: 4(m+M)-\Sigma=3(m+M)-\Sigma_6, где \Sigma_6 — сумма шести средних оценок. Чтобы было побольше, берём m+M наибольшим (m=0, M=12) и \Sigma_6 наименьшим — шесть различных оценок строго между 0 и 12 дают минимум 1+2+3+4+5+6=21. Получаем \dfrac{3\cdot 12-21}{24}=\dfrac{15}{24}=\dfrac58. Наибольшая разность — \dfrac58.