Уравнения с… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00009075

Здесь повторяется выражение $x+\dfrac4x$. Обозначим его $t=x+\dfrac4x$. По неравенству о средних: для $x\gt 0$ имеем $t\ge4$, для $x\lt 0$ — $t\le-4$. Поэтому каждому значению $|t|\gt 4$ отвечают ДВА значения $x$, а $|t|=4$ — одно. Цель — ровно два корня по $x$.

$$a\,t^2+2t-25a+10=0\quad(\text{относительно }t).$$

Сначала особый случай $a=0$: уравнение становится $2t+10=0$, то есть $t=-5$. Так как $|-5|\gt 4$, это даёт два корня $x$ — значит $a=0$ подходит.

При $a\ne0$ это квадратное уравнение по $t$. Разбираем его дискриминант и положение корней относительно «запретной зоны» $-4\lt t\lt 4$ (туда $t$ попасть не может). Каждый допустимый корень $t$ с $|t|\gt 4$ даёт два $x$, с $|t|=4$ — один.

Подсчёт показывает: ровно два корня по $x$ — при $a=0$, $a=\dfrac15$ и на интервале $\left(\dfrac29;2\right)$.