ID: 00009074
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (7x + |x + a - 1| - 6|x + a + 1| + 7a)^2 - a(7x + |x + a - 1| - 6|x + a + 1| + 7a) + 1 = 0 имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Обозначим E=7x+|x+a-1|-6|x+a+1|+7a — кусочно-линейная функция с изломами в x=1-a и x=-1-a. Цель — ровно два корня.
E^2-aE+1=0\ \Rightarrow\ E=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}.
Число решений E(x)=c зависит от наклонов ломаной и уровня c.
Суммируя вклады обоих значений E и требуя ровно два решения, получаем объединение лучей с выколотой точкой a=-\dfrac{26}{5}.
Ответ: \left(-\infty;-\dfrac{26}{5}\right)\cup\left(-\dfrac{26}{5};-2\right)\cup(2;+\infty).
\left(-\infty;-\dfrac{26}{5}\right)\cup\left(-\dfrac{26}{5};-2\right)\cup(2;+\infty)