ID: 00009074
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(7x + |x + a - 1| - 6|x + a + 1| + 7a)^2 - a(7x + |x + a - 1| - 6|x + a + 1| + 7a) + 1 = 0$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Обозначим $E=7x+|x+a-1|-6|x+a+1|+7a$ — кусочно-линейная функция с изломами в $x=1-a$ и $x=-1-a$. Цель — ровно два корня.
$$E^2-aE+1=0\ \Rightarrow\ E=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}.$$
Число решений $E(x)=c$ зависит от наклонов ломаной и уровня $c$.
Суммируя вклады обоих значений $E$ и требуя ровно два решения, получаем объединение лучей с выколотой точкой $a=-\dfrac{26}{5}$.
$\left(-\infty;-\dfrac{26}{5}\right)\cup\left(-\dfrac{26}{5};-2\right)\cup(2;+\infty)$