ID: 00009069
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания $ABCD$. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN : ND = 2 : 3$. Плоскость $\alpha$, проходящая через точки $O$ и $N$ и параллельная ребру $SA$, пересекает ребро $SC$ в точке $M$. Известно, что $SA = AB = 10$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина $SC$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $\alpha$ пересечёт грань $BSC$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём точку $O$ — центр основания. Плоскость $\alpha$ проходит через $O$ параллельно $SA$, поэтому она пересекает плоскость $SAC$ по прямой, параллельной $SA$ и проходящей через $O$ — это средняя линия треугольника $SAC$.
Значит $\alpha$ пересекает $SC$ в его середине $M$ (так как $O$ — середина $AC$, прямая через $O$, параллельная $SA$, делит $SC$ пополам). Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Введём координаты: $O=(0;0;0)$, основание — квадрат со стороной $a=10$, $S=(0;0;7.071)$ (высоту $H$ находим из $SA=AB=10$: $H=\sqrt{100-50}=5\sqrt2$).
Точка $N$ на $SD$ с $SN:ND=2:3$ и середина $M$ ребра $SC$ задают плоскость $\alpha\parallel SA$.
Длина отрезка, по которому $\alpha$ пересекает грань $BSC$, равна $\sqrt{21}$ (находим как хорду сечения в этой грани).
$\sqrt{21}$.