Задание 14 ЕГЭ по математике: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O — центр…

№2. Задание 14

ID: 00009069

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания $ABCD$ . Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN : ND = 2 : 3$ . Плоскость $\alpha$ , проходящая через точки $O$ и $N$ и параллельная ребру $SA$ , пересекает ребро $SC$ в точке $M$ . Известно, что $SA = AB = 10$ .

а) Докажите, что точка $M$ — середина $SC$ .

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $\alpha$ пересечёт грань $BSC$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём точку $O$ — центр основания. Плоскость $\alpha$ проходит через $O$ параллельно $SA$ , поэтому она пересекает плоскость $SAC$ по прямой, параллельной $SA$ и проходящей через $O$ — это средняя линия треугольника $SAC$ .

Значит $\alpha$ пересекает $SC$ в его середине $M$ (так как $O$ — середина $AC$ , прямая через $O$ , параллельная $SA$ , делит $SC$ пополам). Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты: $O=(0;0;0)$ , основание — квадрат со стороной $a=10$ , $S=(0;0;7.071)$ (высоту $H$ находим из $SA=AB=10$ : $H=\sqrt{100-50}=5\sqrt2$ ).

Точка $N$ на $SD$ с $SN:ND=2:3$ и середина $M$ ребра $SC$ задают плоскость $\alpha\parallel SA$ .

Длина отрезка, по которому $\alpha$ пересекает грань $BSC$ , равна $\sqrt{21}$ (находим как хорду сечения в этой грани).

Ответ: $\sqrt{21}$ .

Ответ

$\sqrt{21}$ .