Задание 15 ЕГЭ по математике №00009069

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00009069

В правильной четырёхугольной пирамиде $$SABCD$$ точка $$O$$ — центр основания $$ABCD$$ . Точка $$N$$ делит ребро $$SD$$ в отношении $$SN : ND = 2 : 3$$ . Плоскость $\alpha$ , проходящая через точки $$O$$ и $$N$$ и параллельная ребру $$SA$$ , пересекает ребро $$SC$$ в точке $$M$$ . Известно, что $$SA = AB = 10$$ .

а) Докажите, что точка $$M$$ — середина $$SC$$ .

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $\alpha$ пересечёт грань $$BSC$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём точку $$O$$ — центр основания. Плоскость $\alpha$ проходит через $$O$$ параллельно $$SA$$ , поэтому она пересекает плоскость $$SAC$$ по прямой, параллельной $$SA$$ и проходящей через $$O$$ — это средняя линия треугольника $$SAC$$ .

Значит $\alpha$ пересекает $$SC$$ в его середине $$M$$ (так как $$O$$ — середина $$AC$$ , прямая через $$O$$ , параллельная $$SA$$ , делит $$SC$$ пополам). Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты: $$O=(0;0;0)$$ , основание — квадрат со стороной $$a=10$$ , $$S=(0;0;7.071)$$ (высоту $$H$$ находим из $$SA=AB=10$$ : $H=\sqrt{100-50}=5\sqrt2$ ).

Точка $$N$$ на $$SD$$ с $$SN:ND=2:3$$ и середина $$M$$ ребра $$SC$$ задают плоскость $\alpha\parallel SA$ .

Длина отрезка, по которому $\alpha$ пересекает грань $$BSC$$ , равна $\sqrt{21}$ (находим как хорду сечения в этой грани).

Ответ

$\sqrt{21}$ .

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)