Global EE

Задание 15 ЕГЭ по математике №00009067

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения пирамид

№2. Задание 15

ID: 00009067

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 1$, а $AB = 2$ и $SO = \sqrt{7}$.

а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Плоскость $\alpha$ проходит через $O$, середину $M$ ребра $SC$ и точку $K$ на $BC$. Так как $OM$ — средняя линия треугольника $SAC$ ($O$ середина $AC$, $M$ середина $SC$), то $OM\parallel SA$.

Значит вся плоскость $\alpha=(OMK)$ параллельна прямой $SA$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Координаты: $O=(0;0;0)$, сторона основания $a=2$, $S=(0;0;2.646)$ ($SO=\sqrt7$). $M$ — середина $SC$, $K$ на $BC$ с $BK:KC=3:1$.

Плоскость $(OMK)$ пересекает грань $SAD$ по отрезку длины $\dfrac{9}{4}$.

Ответ

$\dfrac{9}{4}$ .

Другие задания по теме «Сечения пирамид» (8)