ID: 00009067
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 1$, а $AB = 2$ и $SO = \sqrt{7}$.
а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Плоскость $\alpha$ проходит через $O$, середину $M$ ребра $SC$ и точку $K$ на $BC$. Так как $OM$ — средняя линия треугольника $SAC$ ($O$ середина $AC$, $M$ середина $SC$), то $OM\parallel SA$.
Значит вся плоскость $\alpha=(OMK)$ параллельна прямой $SA$. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Координаты: $O=(0;0;0)$, сторона основания $a=2$, $S=(0;0;2.646)$ ($SO=\sqrt7$). $M$ — середина $SC$, $K$ на $BC$ с $BK:KC=3:1$.
Плоскость $(OMK)$ пересекает грань $SAD$ по отрезку длины $\dfrac{9}{4}$.
$\dfrac{9}{4}$ .