ID: 00009058
В июле $2020$, $\text{года}$ планируется взять кредит в банке на сумму $200\,000$, $\text{рублей}$. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено $130\,000$, $\text{рублей}$, а во второй год — $150\,000$, $\text{рублей}$.
Источник: ФИПИ
Кредит гасится за два года, но платежи разные. Запишем, как меняется долг, и из условия полного погашения найдём ставку.
Сумма кредита $S=200 000$ руб. Каждый январь долг умножается на $q=1+\tfrac{r}{100}$. После первого года и платежа 130 000 руб. долг равен $200 000q-130 000$, а после второго года и платежа 150 000 руб. он обнуляется:
$$\bigl(200 000q-130 000\bigr)q-150 000=0\ \Rightarrow\ 200 000q^2-130 000q-150 000=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $q$. Решая его и оставляя корень $q\gt 1$, получаем $q=1{,}25$, то есть $r=25$.
Типичная ошибка — забыть, что проценты второго года начисляются на остаток после первого платежа, а не на исходную сумму.
$25$.