ID: 00009054
В июле $2020$, $\text{года}$ планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $10 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и общая сумма платежей составит $292\,820$, $\text{рублей}$?
Источник: ФИПИ
В этой задаче кредит гасится равными ежегодными платежами, поэтому удобно работать с формулой суммы геометрической прогрессии.
Каждый январь долг увеличивается на 10 %, то есть умножается на $q=1{,}1$, а затем вносится один и тот же платёж $X$. Всего таких платежей 4, после последнего долг равен нулю.
Записав, что после каждого платежа от долга остаётся «прошлый долг $\times q$ минус $X$», и собрав все шаги вместе, получаем равенство для суммы кредита $S$:
$$S\cdot q^{4}=X\left(q^{3}+q^{2}+\dots+q+1\right)=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{q-1}.$$
Так как все платежи равны, а их сумма равна 292 820 рублей, один платёж $X=292 820:4=73 205$ рублей.
Отсюда $S=X\cdot\dfrac{q^{4}-1}{(q-1)\,q^{4}}$. Подставляя $q=1{,}1$ и считая по действиям, получаем, что планируется взять 232 050 рублей.
Полезно проверить себя: подставьте найденную сумму обратно и 4 раз выполните «умножение на $q$ и вычитание платежа» — долг должен обнулиться ровно после последнего года. Типичная ошибка — забыть, что проценты начисляются на остаток долга, а не на исходную сумму.
$232\,050$.