ID: 00009048
В июле $2025$, $\text{года}$ планируется взять кредит на десять лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на $30 \%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле $2026$, $2027$, $2028$, $2029$ и $2030$, $\text{годов}$ долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле $2030$, $\text{года}$ долг должен составить $500$, $\text{тыс. рублей}$;
— в июле $2031$, $2032$, $2033$, $2034$ и $2035$, $\text{годов}$ долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю $2035$, $\text{года}$ долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна $2080$, $\text{тыс. рублей}$. Сколько рублей составит платёж в $2026$, $\text{году}$?
Источник: ФИПИ
Долг гасится двумя «дифференцированными» этапами: сначала пять лет он убывает равными ступенями до некоторой середины, затем ещё пять лет — другими равными ступенями до нуля.
Обозначим долг (в тыс. руб.) на июль 2030 года через $M$. Тогда первые пять лет долг убывает по $\tfrac{S-M}{5}$, а вторые пять лет — по $\tfrac{M}{5}$ за год.
Каждый годовой платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс ступень погашения». Сложив все десять платежей, замечаем: все ступени вместе дают весь кредит $S$, а сумма процентов равна ставке, умноженной на сумму всех долгов по годам. Это приводит к компактной формуле:
$$\text{сумма выплат}=S+x\,(3S+5M),\qquad x=0{,}3.$$
Сначала найдём середину: при $S=700$, ставке 30 % и сумме выплат 2 080 получаем $M=500$ тыс. руб., поэтому первая ступень $d_1=\tfrac{S-M}{5}=40$.
Платёж 2026 года (самый первый) — это проценты на исходный долг плюс первая ступень: $x\cdot S+d_1=0{,}3\cdot700+40=250$ тыс. руб.
Платёж в 2026 году составит 250 тыс. рублей.
Типичная ошибка — перепутать число ступеней (их по пять в каждой половине, а лет всего десять) или начислить проценты на исходную, а не на текущую величину долга.
$250\,000$.