ID: 00009047
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900, \text{тысяч рублей} на 11, \text{месяцев}. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r \% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 10-го месяца долг составит 200, \text{тысяч рублей};
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021, \text{тысячу рублей}.
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на r\,\%, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 70: 900,\ 830,\ \dots — всего 10 ступеней, после чего 11-м платежом гасится остаток 200 тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 70 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку 200, выросшему на r\,\%. Сумма всех платежей равна 1 021 тыс. руб.:
\underbrace{70\cdot10}_{\text{ступени}=700}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=1 021.
Отсюда x=0{,}02, то есть r=2. Искомая ставка равна 2 %.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.
2.