Задание 20 ЕГЭ по математике №00009008

Что происходит: есть трёхзначное число $A$. Вычеркнув из него одну цифру, получают двузначные $B$ и $C$ (можно вычеркнуть одну и ту же позицию). Нужно, чтобы $A=B\cdot C$.

Пункт а). Может ли $A\gt 150$? Да. Возьмём $A=160$: вычеркнув цифру $6$, получим $10$; вычеркнув $0$, получим $16$. Тогда $B\cdot C=16\cdot 10=160=A$, и $160\gt 150$. Значит — да.

Пункт б). Может ли $540\leqslant A\lt 600$? Тогда цифра сотен равна $5$, запишем $A=\overline{5xy}$. Двузначные обрезки — это $\overline{5x}$, $\overline{5y}$ и $\overline{xy}$. Если бы оба множителя были вида $\overline{5x},\overline{5y}$ (каждое $\geqslant 50$), их произведение было бы $\geqslant 2500\gt A$. Значит один из множителей — это $\overline{xy}=10x+y$.

Тогда $A=(10x+y)\cdot C$, и $10x+y$ делит $A=500+10x+y$, а значит делит и $500$. Двузначные делители $500$ — это $10,20,25,50$. Перебор даёт $A$ вроде $510=10\cdot 51$ — все меньше $540$. Ни одного $A$ в $[540;600)$ не выходит. Значит — нет.

Пункт в). Найдём наибольшее $A$. Возьмём $A=910$: вычеркнув $9$, получим $10$; вычеркнув $0$, получим $91$. Тогда $B\cdot C=91\cdot 10=910=A$. Больше не выйдет: меньший из множителей не превосходит $\sqrt{999}\lt 32$, и перебор обрезков показывает, что максимум, при котором произведение равно самому $A$, достигается на $910$. Наибольшее число — 910.