Задание 19 ЕГЭ по математике №00008951

Что дано: трёхзначное число $A$, $S$ — сумма его цифр. Очень полезное свойство: число и сумма его цифр дают одинаковый остаток по модулю $9$, то есть $A\equiv S\pmod 9$. Тогда $A\cdot S\equiv S\cdot S=S^{2}\pmod 9$. А квадраты по модулю $9$ бывают только с остатками $0,1,4,7$ — это сразу отсекает многие значения.

Пункт а). Может ли $A\cdot S=1105$? Здесь $S$ — делитель $1105=5\cdot 13\cdot 17$, лежащий в пределах $[1;27]$ (сумма цифр трёхзначного числа): это $5,13,17$. При $S=5$ получаем $A=\dfrac{1105}{5}=221$, и сумма цифр $221$ действительно $2+2+1=5$. Значит — да.

Пункт б). Может ли $A\cdot S=1106$? Остаток $1106$ по модулю $9$ равен $8$ ($1+1+0+6=8$), а $A\cdot S\equiv S^{2}$ даёт лишь $0,1,4,7$. Числа $8$ среди них нет — значит нет.

Пункт в). Ищем наименьшее значение $A\cdot S$, большее $1503$. Проверим ближайшие: $1504,1505,1506$ дают по модулю $9$ остатки $1,2,3$. Остатки $2$ и $3$ невозможны (не квадраты по модулю $9$); для остатка $1$ ($1504$) нужно подходящее $S\mid 1504$ с трёхзначным $A$ и верной суммой цифр — таких нет. Значение $1507=11\cdot 137$ достижимо: при $S=11$ имеем $A=137$, сумма цифр которого $1+3+7=11$. Наименьшее значение, большее $1503$, — 1507.