ID: 00008948
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$, а прямая $BC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$.
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BE$ параллельны.
б) Найдите $BC$, если радиусы окружностей равны $\sqrt{15}$ и $15$.
Источник: ФИПИ
Две окружности касаются внешним образом в точке $C$; вершины $A$, $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ (прямой угол $C$) лежат на окружностях. Прямые $AC$, $BC$ вторично пересекают окружности в $E$, $D$.
Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы $\angle DAC$ и $\angle CBE$ равны соответствующим вписанным углам, поэтому $AD\parallel BE$ (для внутреннего) / $AE\parallel BD$. Доказано.
Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса $\rho$ под углом $\psi$ к линии центров равна $2\rho\cos\psi$. Записав $AC$, $BC$ через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем $BC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot\sqrt{15}\cdot15}{\sqrt{\sqrt{15}^2+15^2}}=7{,}5$.
$7,5$