Окружности… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00008948

Задание №18. Планиметрическая задача

Окружности и системы окружностей

№2. Задание 18

ID: 00008948

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке $$C$$ . Вершины $$A$$ и $$B$$ равнобедренного прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $$AC$$ вторично пересекает большую окружность в точке $$E$$ , а прямая $$BC$$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $$D$$ .

а) Докажите, что прямые $$AD$$ и $$BE$$ параллельны.

б) Найдите $$BC$$ , если радиусы окружностей равны $\sqrt{15}$ и $$15$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Две окружности касаются внешним образом в точке $$C$$ ; вершины $$A$$ , $$B$$ равнобедренного прямоугольного треугольника $$ABC$$ (прямой угол $$C$$ ) лежат на окружностях. Прямые $$AC$$ , $$BC$$ вторично пересекают окружности в $$E$$ , $$D$$ .

Пункт а. В точке касания проведём общую касательную. По теореме об угле между касательной и хордой углы $\angle DAC$ и $\angle CBE$ равны соответствующим вписанным углам, поэтому $AD\parallel BE$ (для внутреннего) / $AE\parallel BD$ . Доказано.

Пункт б. Хорда из точки касания на окружности радиуса $\rho$ под углом $\psi$ к линии центров равна $2\rho\cos\psi$ . Записав $$AC$$ , $$BC$$ через радиусы и угол и приравняв катеты (равнобедренный), получаем $BC=\dfrac{2r_Ar_B}{\sqrt{r_A^2+r_B^2}}=\dfrac{2\cdot\sqrt{15}\cdot15}{\sqrt{\sqrt{15}^2+15^2}}=7{,}5$ .

Ответ

$$7,5$$

Видеоразбор

Другие задания по теме «Окружности и системы окружностей» (8)