Логарифмичес… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00008722

Справа — сумма двух логарифмов с основанием $5$. Свернём её в один логарифм и сравним то, что стоит под логарифмами. Но сначала, как всегда с логарифмами, отыщем область определения.

Под логарифмами должны стоять положительные числа. $(3-x)(x^{2}+2)\gt 0$: множитель $x^{2}+2$ всегда положителен, поэтому условие сводится к $3-x\gt 0$, то есть $x\lt 3$. Дальше $x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4)\gt 0$ даёт $x\lt 3$ или $x\gt 4$. И $5-x\gt 0$ даёт $x\lt 5$. Пересечение всех трёх условий: $x\lt 3$.

Сворачиваем правую часть: $\log_5(x^{2}-7x+12)+\log_5(5-x)=\log_5\big((x-3)(x-4)(5-x)\big)$. Основание $5\gt 1$, переходим к сравнению аргументов:

$$(3-x)(x^{2}+2)\geqslant (x-3)(x-4)(5-x).$$

Маленькая хитрость: $(x-3)(x-4)(5-x)=(3-x)(4-x)(5-x)$. Мы поменяли знак сразу в двух скобках — $(x-3)$ на $(3-x)$ и $(x-4)$ на $(4-x)$, — а два минуса дают плюс, поэтому значение не изменилось. Теперь в обеих частях есть общий множитель $3-x$, и при $x\lt 3$ он положителен. На положительное число делить можно, знак неравенства сохраняется:

$$x^{2}+2\geqslant (4-x)(5-x),\qquad x^{2}+2\geqslant x^{2}-9x+20.$$

Слагаемые $x^{2}$ сокращаются, остаётся $9x\geqslant 18$, то есть $x\geqslant 2$. Вспоминаем ОДЗ $x\lt 3$ и получаем промежуток $[2;3)$.