ID: 00005460
15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?
Источник: ФИПИ
Это помесячный «дифференцированный» кредит: 1-го числа каждого месяца долг растёт на $r\,\%$, а 15-го его уменьшают так, чтобы он падал равными ступенями; в последний месяц гасится остаток.
Долг (в тыс. руб.) на 15-е число убывает равными ступенями по 30: $1 100,\ 1 070,\ \dots$ — всего 30 ступеней, после чего 31-м платежом гасится остаток $200$ тыс. руб.
Платёж каждого месяца — это «ступень погашения 30 плюс проценты на долг прошлого месяца». Последний платёж равен остатку $200$, выросшему на $r\,\%$. Сумма всех платежей равна 1 503 тыс. руб.:
$$\underbrace{30\cdot30}_{\text{ступени}=900}+x\cdot(\text{сумма долгов прошлых месяцев})+(1+x)\cdot200=1 503.$$
Решив уравнение, находим недостающую величину, после чего долг 15-го числа 30-го месяца равен $1 100-30\cdot30=200$ тыс. руб., то есть 200 000 рублей.
Типичная ошибка — начислять проценты на исходный долг, а не на остаток прошлого месяца, или забыть про отдельный последний платёж.