Кредиты

Задание №13. Экономические задачи

№2. Задание 13

ID: 00005459

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

Источник: ФИПИ

Решение

Долг каждый год уменьшается на одну и ту же величину и за $$k$$ лет доходит до нуля — это дифференцированная схема, и платежи образуют арифметическую прогрессию.

Пусть кредит берут на $$k$$ лет. Тогда долг на июль убывает равными ступенями: $S,\ S-\tfrac{S}{k},\ \dots,\ 0$ , где $$S=10$$ (в млн руб.).

Каждый платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс одна ступень погашения». Все ступени вместе дают сам кредит $$S$$ , а сумму процентов считаем как ставку, умноженную на сумму всех долгов; сумма долгов по годам равна $\dfrac{S(k+1)}{2}$ . Поэтому общая сумма выплат равна:

$\text{сумма выплат}=S+x\cdot\dfrac{S(k+1)}{2},\qquad x=0{,}1.$

Подставляем $$S=10$$ и ставку 10 %, приравниваем к заданной сумме 15 (в млн руб.) и решаем относительно $$k$$ . Получаем $$k=9$$ .

Значит, кредит планируется взять на 9 лет. Проверка: при этом числе лет сумма выплат действительно равна 15 млн руб. Типичная ошибка — посчитать число ступеней погашения на единицу больше или меньше, чем число лет.

Ответ

Другие задания по теме «Кредиты» (8)