Global EE

Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00005449

Задание №13. Экономические задачи

Кредиты

№2. Задание 13

ID: 00005449

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей.

Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года ( r — целое число);

-с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

-в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;

-в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

-к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.

Источник: ФИПИ

Решение

Долг гасится двумя «дифференцированными» этапами: сначала пять лет он убывает равными ступенями до некоторой середины, затем ещё пять лет — другими равными ступенями до нуля.

Обозначим долг (в тыс. руб.) на июль 2030 года через $M$. Тогда первые пять лет долг убывает по $\tfrac{S-M}{5}$, а вторые пять лет — по $\tfrac{M}{5}$ за год.

Каждый годовой платёж — это «проценты на долг прошлого года плюс ступень погашения». Сложив все десять платежей, замечаем: все ступени вместе дают весь кредит $S$, а сумма процентов равна ставке, умноженной на сумму всех долгов по годам. Это приводит к компактной формуле:

$$\text{сумма выплат}=S+x\,(3S+5M),\qquad x=0{,}2.$$

Здесь известны $S=800$ и $M=200$ (тыс. руб.), а сумма выплат равна 1 480. Подставляем и находим ставку: $x=\dfrac{1 480-800}{3\cdot800+5\cdot200}=0{,}2$, то есть $r=20$.

Искомая ставка равна 20 %.

Типичная ошибка — перепутать число ступеней (их по пять в каждой половине, а лет всего десять) или начислить проценты на исходную, а не на текущую величину долга.

Ответ

20

Видеоразбор

Другие задания по теме «Кредиты» (8)