Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00005442

Сначала упростим: $\ln(x+9)^5 = 5\ln(x+9)$, поэтому функция превращается в $y = 5\ln(x+9) - 5x$.

Под логарифмом должно быть положительное число: $x + 9 > 0$, то есть $x > -9$. Отрезок $[-8{,}5;\ 0]$ целиком правее, значит всё определено.

Наибольшее значение ищем через производную. Считаем: $y' = \dfrac{5}{x+9} - 5$.

Приравниваем к нулю: $\dfrac{5}{x+9} - 5 = 0$, значит $\dfrac{5}{x+9} = 5$, откуда $x + 9 = 1$ и $x = -8$. Точка лежит внутри отрезка.

Смотрим на знаки: левее $-8$ производная положительная (функция растёт), правее — отрицательная (функция убывает). Подъём сменяется спуском — значит, в точке $x = -8$ максимум, здесь и самое большое значение.

Подставляем: $y(-8) = 5\ln(-8+9) - 5\cdot(-8) = 5\ln 1 + 40 = 0 + 40 = 40$.

Значит, наибольшее значение функции равно $40$.