ID: 00005441
Найдите наибольшее значение функции $y = \ln(8x) - 8x + 7$ на отрезке $[\dfrac{1}{16}; \dfrac{5}{16}]$.
Источник: ФИПИ
Область определения: $8x \gt 0$, то есть $x \gt 0$ — весь отрезок подходит.
Производная (у $\ln(8x)$ производная $\dfrac{8}{8x} = \dfrac{1}{x}$):
$$y' = \dfrac{1}{x} - 8.$$
Нуль производной:
$$\dfrac{1}{x} = 8 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{1}{8}.$$
Точка $\dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{16}$ лежит внутри отрезка $\left[\dfrac{1}{16};\ \dfrac{5}{16}\right]$.
Знаки: при $x \lt \dfrac{1}{8}$ дробь $\dfrac{1}{x}$ больше $8$ — производная положительна; при $x \gt \dfrac{1}{8}$ — отрицательна. Это максимум, в нём и достигается наибольшее значение:
$$y\left(\dfrac{1}{8}\right) = \ln\left(8 \cdot \dfrac{1}{8}\right) - 8 \cdot \dfrac{1}{8} + 7 = \ln 1 - 1 + 7 = 0 - 1 + 7 = 6.$$