Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00005390

Пункт а (доказательство).

Так как отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра, его проекция на нижнее основание — отрезок $AC$ — проходит через центр основания, то есть $AC$ является диаметром нижней окружности.

Точка $B$ лежит на той же окружности, а $AC$ — её диаметр. Вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой: $\angle ABC=90^\circ$, поэтому $BA\perp BC$.

Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, значит $CC_1\perp BA$ (прямая основания). Тогда $BA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ плоскости $BCC_1$, поэтому $BA\perp BC_1$.

Следовательно, угол $ABC_1$ прямой, что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Введём координаты: центр нижнего основания $O=(0;0;0)$, $A=(-R;0;0)$, $C=(R;0;0)$, где $R=\dfrac{AC}{2}$, а $AC=\sqrt{AB^2+B_1C_1^2}=\sqrt{697}$.

Точку $B=(x;y;0)$ найдём из условий $x^2+y^2=R^2$ и $AB=21$; точка $C_1=(R;0;12)$ (над $C$).

Расстояние от $B$ до прямой $AC_1$ вычисляем как $d=\dfrac{|\vec{AB}\times\vec{AC_1}|}{|\vec{AC_1}|}=\dfrac{420}{29}$.