В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD . Диагонали трапеции пересекаются в точке O . Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость альфа проходит через точки M и N параллельно прямой SO . а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью альфа является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью альфа , если AD равно 10 , BC равно 8 , SO равно 8 , а прямая SO перпендикулярна прямой AD .

Задание 14 ЕГЭ по математике: В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим…

№2. Задание 14

ID: 00022279

В основании пирамиды

SABCD

лежит трапеция

ABCD

с большим основанием

AD

. Диагонали трапеции пересекаются в точке

O

. Точки

M

N

— середины боковых сторон

AB

CD

соответственно. Плоскость

\alpha

проходит через точки

M

N

параллельно прямой

SO

. а) Докажите, что сечение пирамиды

SABCD

плоскостью

\alpha

является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды

SABCD

плоскостью

\alpha

, если

AD = 10

BC = 8

SO = 8

, а прямая

SO

перпендикулярна прямой

AD

Источник: ЕГЭ ФИПИ+аналоги (Адиль)

Решение

а) $MN$ — средняя линия трапеции, поэтому $MN \parallel AD \parallel BC$ . Важная деталь: средняя линия проходит через середины обеих диагоналей. Действительно, отрезок из $M$ в середину диагонали $AC$ — средняя линия треугольника $ABC$ , он параллелен $BC$ , значит, лежит на прямой $MN$ ; так же и с диагональю $BD$ . Обозначим $P$ — середину $AC$ , $Q$ — середину $BD$ : обе точки лежат на $MN$ , а значит, и в плоскости $\alpha$ .

Смотрим на плоскость $SAC$ : в ней лежат прямая $SO$ и точка $P$ . Плоскость $\alpha$ проходит через $P$ и параллельна $SO$ , поэтому линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $SAC$ — прямая через $P$ , параллельная $SO$ : будь она не параллельна, она пересекла бы $SO$ , а у $\alpha$ с $SO$ общих точек нет.

Где на диагонали $AC$ сидит точка $O$ ? Диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении оснований: $\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AD}{BC}$ , откуда $\dfrac{AO}{AC} = \dfrac{AD}{AD + BC} > \dfrac{1}{2}$ , ведь $AD$ — большее основание. Значит, середина $P$ лежит между $A$ и $O$ , и прямая через $P$ параллельно $SO$ идёт внутри треугольника $ASO$ — она пересекает ребро $SA$ в точке $L$ , причём по теореме Фалеса $\dfrac{AL}{AS} = \dfrac{AP}{AO}$ .

Симметрично в плоскости $SBD$ : тут $\dfrac{BO}{OD} = \dfrac{BC}{AD} < 1$ , поэтому середина $Q$ диагонали $BD$ лежит между $O$ и $D$ , и линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $SBD$ — прямая через $Q$ параллельно $SO$ — пересекает ребро $SD$ в точке $R$ с $\dfrac{DR}{DS} = \dfrac{DQ}{DO}$ .

Сравним доли: $\dfrac{AP}{AO} = \dfrac{AC/2}{AC \cdot AD/(AD + BC)} = \dfrac{AD + BC}{2AD}$ , и ровно так же $\dfrac{DQ}{DO} = \dfrac{BD/2}{BD \cdot AD/(AD + BC)} = \dfrac{AD + BC}{2AD}$ . Доли равны! Значит, $\dfrac{SL}{SA} = \dfrac{SR}{SD}$ , и в треугольнике $SAD$ отрезок $LR \parallel AD$ .

Итого сечение — четырёхугольник $MNRL$ : сторона $MN$ в основании, $NR$ на грани $SCD$ , $RL$ на грани $SAD$ , $LM$ на грани $SAB$ . Обе стороны $MN$ и $LR$ параллельны $AD$ , то есть параллельны между собой. А равны ли они? $MN = \dfrac{AD + BC}{2}$ , а $LR = AD \cdot \dfrac{SL}{SA} = AD \cdot \dfrac{AD - BC}{2AD} = \dfrac{AD - BC}{2}$ . Так как $AD \ne BC$ , стороны параллельны, но не равны — $MNRL$ трапеция. Что и требовалось доказать.

б) Подставляем числа: $MN = \dfrac{10 + 8}{2} = 9$ , $LR = \dfrac{10 - 8}{2} = 1$ . Осталась высота сечения. Соединим $P$ и $L$ : по построению $PL \parallel SO$ , и в треугольнике $AOS$ по Фалесу $\dfrac{PL}{SO} = \dfrac{AP}{AO} = \dfrac{AD + BC}{2AD} = \dfrac{18}{20} = \dfrac{9}{10}$ , откуда $PL = \dfrac{9}{10} \cdot 8 = 7{,}2$ .

Почему именно $PL$ — высота? По условию $SO \perp AD$ , а параллельный перенос сохраняет углы: $PL \parallel SO$ , и обе стороны $MN$ и $LR$ параллельны $AD$ , значит, $PL$ перпендикулярен им обеим. Отрезок соединяет точку $P$ на $MN$ с точкой $L$ на $LR$ и перпендикулярен обеим сторонам — это и есть высота трапеции сечения. Площадь: $S = \dfrac{MN + LR}{2} \cdot PL = \dfrac{9 + 1}{2} \cdot 7{,}2 = 5 \cdot 7{,}2 = 36$ . Всё сходится. Ответ: $36$ .

Ответ

а) доказано; б)

36