Расстояние… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00022452

а) Поставим основание в координаты: $A(0;0;0)$, $B(8;0;0)$, $C(8;8;0)$, $D(0;8;0)$, центр $O(4;4;0)$. Высоту найдём из бокового ребра: $SA^2=4^2+4^2+h^2=32+h^2=49$, значит $h=\sqrt{17}$ и $S(4;4;\sqrt{17})$.

Точки: $M(2;0;0)$ (на $AB$, $AM=2$) и $K=S+\tfrac17(B-S)$ (на $SB$, $SK:SB=1:7$), то есть $K\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};\tfrac{6\sqrt{17}}{7}\right)$.

Опустим из $K$ перпендикуляр на основание, его основание — $K_1\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};0\right)$. Проверим, что $K_1$ лежит на прямой $CM$: идя от $C(8;8)$ к $M(2;0)$ на долю $\tfrac47$, попадаем как раз в $\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7}\right)$. Значит, вертикальный отрезок $KK_1$ лежит в плоскости $CKM$ — а раз эта плоскость содержит перпендикуляр к основанию, то $CKM\perp ABC$. Что и требовалось.

б) В пирамиде $BCKM$ возьмём основанием треугольник $BCM$ (он в плоскости основания), а вершиной — $K$. Высота — это высота $K$ над основанием: точка делит $SB$ так, что $BK:BS=6:7$, поэтому $z_K=\tfrac67\sqrt{17}=\tfrac{6\sqrt{17}}{7}$.

Площадь $BCM$: сторона $BM=AB-AM=8-2=6$ лежит на прямой $AB$, высота из $C$ на $AB$ равна $8$. Значит $S_{BCM}=\tfrac12\cdot6\cdot8=24$.

Объём: $V=\tfrac13\cdot24\cdot\tfrac{6\sqrt{17}}{7}=\dfrac{48\sqrt{17}}{7}$. Проверка смешанным произведением даёт то же — всё сходится.