а) Поставим основание в координаты: A(0;0;0), B(8;0;0), C(8;8;0), D(0;8;0), центр O(4;4;0). Высоту найдём из бокового ребра: SA^2=4^2+4^2+h^2=32+h^2=49, значит h=\sqrt{17} и S(4;4;\sqrt{17}).

Точки: M(2;0;0) (на AB, AM=2) и K=S+\tfrac17(B-S) (на SB, SK:SB=1:7), то есть K\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};\tfrac{6\sqrt{17}}{7}\right).

Опустим из K перпендикуляр на основание, его основание — K_1\left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7};0\right). Проверим, что K_1 лежит на прямой CM: идя от C(8;8) к M(2;0) на долю \tfrac47, попадаем как раз в \left(\tfrac{32}{7};\tfrac{24}{7}\right). Значит, вертикальный отрезок KK_1 лежит в плоскости CKM — а раз эта плоскость содержит перпендикуляр к основанию, то CKM\perp ABC. Что и требовалось.

б) В пирамиде BCKM возьмём основанием треугольник BCM (он в плоскости основания), а вершиной — K. Высота — это высота K над основанием: точка делит SB так, что BK:BS=6:7, поэтому z_K=\tfrac67\sqrt{17}=\tfrac{6\sqrt{17}}{7}.

Площадь BCM: сторона BM=AB-AM=8-2=6 лежит на прямой AB, высота из C на AB равна 8. Значит S_{BCM}=\tfrac12\cdot6\cdot8=24.

Объём: V=\tfrac13\cdot24\cdot\tfrac{6\sqrt{17}}{7}=\dfrac{48\sqrt{17}}{7}. Проверка смешанным произведением даёт то же — всё сходится.